| Summary: | En este trabajo haremos uso del concepto de cópula para encontrar contraejemplos en conjeturas relacionadas con funciones de distribución.
Sabemos que si partimos de una función de distribución conjunta de un vector aleatorio conocida, podemos obtener, de manera única, las funciones de distribución marginales correspondientes a cada variable aleatoria del vector. Sin embargo, conociendo
las respectivas funciones de distribución marginales de cada variable no se conoce, de forma única, la función de distribución conjunta. De aquí surge el interés en el estudio del tipo de dependencia entre las distribuciones marginales, pues el objetivo es encontrar la función de distribución conjunta, a partir de estas, que mejor explique la relación de dependencia entre las variables aleatorias del vector.
En la búsqueda de una solución aparece el concepto de cópula, herramienta que se usará para describir la relación de dependencia entre un cierto número de variables aleatorias, de las cuáles conocemos su comportamiento de forma individual, es decir, las cópulas están relacionadas con el estudio de las distribuciones multivariantes con distribuciones marginales dadas.
En el trabajo nos centraremos en los vectores aleatorios de dimensión 2, es decir, trabajaremos con funciones de distribución bivariantes. Se expondrán las definiciones y resultados básicos sobre cópulas, así como sus principales propiedades. Destacaremos el Teorema de Sklar, resultado central de la teoría de cópulas, el cual define la relación entre una función de distribución conjunta y, sus marginales unidimensionales mediante cópulas.
También, se presentarán algunas medidas de asociación para mostrar la relación de dependencia entre variables aleatorias, así como algunos conceptos de dependencia.
Además, se introducirán un par de familias de cópulas. Finalmente, mostraremos dos contraejemplos, uno sobre una conjetura y otro sobre la reciprocidad de un resultado, ambos problemas relacionados con funciones de distribución.
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